Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Ableitungsregeln Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln

Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln

In diesem Text erhältst du eine Übersicht über alle Ableitungsregeln

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Potenzregel: $f(x)= x^n \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$

Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) \rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$

Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) \rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$

Produktregel: $f(x) = g(x) \cdot v(x) \rightarrow~~ f'(x) = g'(x) \cdot v(x) + g(x) \cdot v'(x)$

Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) \rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$

Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Um die Steigung einer beliebigen Funktion (an einem beliebigen Punkt) berechnen zu können, muss man die Ableitungsregeln kennen. Zudem sind die Ableitungsregeln für die Kurvendiskussion sehr wichtig.

Gut zu wissen

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Mit der ersten Ableitung berechnet man die Steigung der Funktion. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Steigung der Funktion an jedem beliebigen Punkt berechnen.

Das Zeichen für die erste Ableitungsfunktion ist $f'(x)$, gesprochen: $f$ Strich von $x$.

Potenzregel

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$f(x)= x^n$

$f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$

Die Potenzregel wird immer dann angewandt, wenn die Variable (also $x$) einen Exponenten hat.
Der Exponent wird mit dem Faktor vor dem $x$ multipliziert und von dem Exponenten wird $1$ abgezogen. Hierzu ein Beispiel:

Beispiel

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$f(x) = x^3$

$f'(x) = 3 \cdot x ^{3-1} = 3 \cdot x^2$

Wenn die Variable ($x$) keinen Exponent hat, geschieht folgendes:
$f(x) =x=  x ^{1}$
$f'(x) = 1\cdot x^{1-1}= x^0= 1$
Die Variable verschwindet durch das Ableiten und nur der Faktor bleibt stehen.

Erfahre hier mehr zur Potenzregel!

Faktorregel

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$f(x)= k \cdot g(x)$

$f'(x)= k \cdot g'(x)$

Die Faktorregel besagt, dass der Faktor vor dem $x$ oder vor der abzuleitenden Funktion erhalten bleibt. Dabei ist $k$ ein Platzhalter für eine beliebige konstante Zahl.

Beispiel

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$f(x) = \textcolor{blue}{ 5} x^2$

$f'(x) =  \textcolor{blue}{ 5}\cdot 2 x^{2-1}= 10 x$

Wenn du noch mehr über die Faktorregel erfahren möchtest, schaue dir die Seite Faktorregel an.

Summenregel

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$f(x)=g(x)+k(x)$

$f'(x)= g'(x)+k'(x)$

Die Summenregel besagt, dass bei einer Funktion, die aus zwei Funktionsteilen besteht, die Funktionsteile getrennt abgeleitet werden. Diese Regel gilt für Funktionen, die durch ein Pluszeichen verbunden sind. Daher kommt auch der Name Summenregel. 

Die Regel gilt auch für Funktionsteile, die durch ein Minuszeichen verbunden sind. Sie wird dann auch Differenzregel genannt. 

Schauen wir uns zwei Beispiele an:

Beispiel

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1.

$f(x) = 5x^2+0,5x$

$f'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x ^{2-1} + 0,5 \cdot x ^{1-1} = 10 x+ 0,5$ 

Beispiel

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2.

$f(x) = x^3 -2 x^2$

$f'(x)= 3 x^2 -4 x$

Weitere Informationen zur Summenregel erhältst du hier: Summenregel 

Produktregel

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$f(x) = g(x) \cdot v(x)$

$f'(x) = g'(x) \cdot v(x) + g(x) \cdot v'(x)$

Wenn zwei Teilfunktionen durch ein Malzeichen verbunden sind, wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet: Du multiplizierst die Ableitung der ersten Teilfunktion mit der zweiten Teilfunktion und addierst nun das Produkt aus der ersten Teilfunktion und der Ableitung der zweiten Teilfunktion. Welche Teilfunktion du als erste und welche Teilfunktion du als zweite betrachtest, ist egal.

Vorgehensweise:

  1. Die beiden Teilfunktionen $g(x)$ und $v(x)$ identifizieren.
  2. Die Funktionen getrennt ableiten.
  3. Die Funktionen und die Ableitungen in die Formel $f'(x) = g'(x) \cdot v(x) + g(x) \cdot v'(x)$ einsetzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel

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$f(x) = 3x^2 \cdot x$

1. Als erstes müssen die zwei Funktionen identifiziert werden:

$g(x) = 3x^2$

$v(x) = x$

2. Nun werden die Funktionen jeweils abgeleitet:

$g'(x) = 6x$

$v'(x) = 1$

3. Zum Schluss wird in die Formel eingesetzt:

$f'(x) = g'(x) \cdot v(x) + g(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 6x \cdot x + 3x^2 \cdot 1 = 6x^2 +3x^2 = 9x^2$

Hier kannst du dir weitere Beispiele sowie die Herleitung der Produktregel anschauen.

Kettenregel

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$f(x)= u(b(x))$

$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$

Die Kettenregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt, also verkettet sind. Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist: $f(x) = (3x^2)^4$. Es liegt eine innere Funktion vor ($3x^2$), die von der äußeren $()^4$ umschlossen ist.

Bei der Anwendung der Kettenregel geht man wie folgt vor:

Vorgehensweise:

  1. Die äußere und die innere Funktion identifizieren.
  2. Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden.
  3. Die Funktionen und ihre Ableitungen in die Formel $f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$ einsetzen.

Beispiel

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$f(x) = (3x^2)^4$

1. Die äußere und die innere Funktion identifizieren:

äußere Funktion: $u(x) = (b(x)) ^4$

innere Funktion: $b(x) =3x^2$

2. Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden:

äußere: $ u'(x) =4\cdot (b(x))^3$

innere: $b'(x) = 6x$

3. Zum Schluss wird in die Formel eingesetzt:

$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$

$f'(x) = 4 (3x^2)^3 \cdot 6x $

Mehr zu der Kettenregel erfährst du hier: Kettenregel

Quotientenregel

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$\large{f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}}$

$\Large{f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}}$

Die Quotientenregel wird angewandt, wenn in der abzuleitenden Funktion, ein Bruch ist.

Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel

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$f(x) = \frac{3x^3+5x}{x^2}$

1. Funktionen identifizieren:

$u(x) = 3x^3+5x$

$v(x) = x^2$

2. Die Funktionen jeweils ableiten:

$u'(x) = 9x^2+5$

$v'(x) = 2x$

3. In die Formel einsetzen:

$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}$

Hier müssen die einzelnen Funktionen in Klammern gesetzt werden, da sonst Fehler beim Auflösen der Klammern und beim Zusammenfassen entstehen könnten!

$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}= \frac{(9x^4+5x^2)-(6x^4+10x^2)}{x^4}$

$f'(x)= \frac{3x^4-5x^2}{x^4}$

Hier haben wir noch eine zum Herunterladen für dich vorbereitet.

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du auch alle Regeln anwenden kannst. Viel Erfolg dabei!

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