Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Terme und Gleichungen Gleichungen lösen Bruchgleichungen lösen Schritt für Schritt erklärt

Bruchgleichungen lösen Schritt für Schritt erklärt

Bruchgleichungen unterschieden sich von normalen linearen Gleichungen dadurch, dass die unbekannte Variable $x$ im Nenner eines Bruchs steht. Dein wichtigstes Werkzeug zum Lösen einer Bruchgleichung ist jedoch immer noch die Äquivalenzumformung.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5$

$2 + \frac{3}{x} = 6$

$\frac{1}{2\cdot(4\cdot x)} = 24$

Definitionsmenge einer Bruchgleichung

Im Gegensatz zur normalen Gleichung, bei der $x$ theoretisch alle möglichen Werte haben kann, müssen wir bei der Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge bestimmen. Die Definitionsmenge sagt uns, welche Werte $x$ überhaupt annehmen kann. Warum kann $x$ in einer Bruchgleichung nicht alle Werte annehmen?

Der Nenner eines Bruchs darf insgesamt niemals null ergeben, da eine Division durch null mathematisch nicht erlaubt ist. Unsere unbekannte Zahl darf also nicht einen solchen Wert haben, durch den der Nenner des Bruchs null würde. Schauen wir uns nochmal das Beispiel an:

$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5$

Welchen Wert müsste $x$ haben damit der Nenner insgesamt null ergibt? Das Ergebnis lässt sich sehr einfach errechnen.

$2\cdot x = 0~~~~| :2$

$x = 0$

Die Unbekannte $x$ darf also nicht den Wert $0$ haben, da sonst der gesamte Nenner null sein würde.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Der Nenner darf niemals null ergeben. Eine Division durch null ist nicht erlaubt.

Man schreibt die Definitionsmenge folgendermaßen auf:

$ \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} $

Gesprochen wird das so: Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer null.

Bruchgleichungen lösen

Zum Lösen einer Bruchgleichung benutzt du, wie schon bei den linearen Gleichungen, die Äquivalenzumformung.

1. Schritt: Bruch eliminieren

Zunächst eliminierst du den Bruch. Das bedeutet, dass du die Gleichung mit dem Nenner des Bruchs multiplizierst, um anschließend durch Kürzen eine Gleichung ohne Brüche zu erhalten.

$\frac{1}{2\cdot x} = 0,5~~~~|\cdot 2\cdot x$

$\frac{1}{2\cdot x} \cdot 2\cdot x = 0,5 \cdot 2\cdot x$

$\frac{1 \cdot \textcolor{blue}{2\cdot x}}{\textcolor{blue}{2\cdot x}} = 0,5 \cdot 2\cdot x$

$1 = 0,5 \cdot 2 \cdot x$

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Brüche können eliminiert werden, indem man die Gleichung mit dem Nenner multipliziert.

2. Schritt: Lineare Gleichung lösen

Wir haben die Bruchgleichung zu einer linearen Gleichung umgeformt, die wir nun ganz einfach durch die Äquivalenzumformung lösen können.

$1 = 0,5 \cdot 2 \cdot x~~~~~|:0,5$

$2=2\cdot x~~~~~|:2$

$x=1$

3. Schritt: Überprüfung des Ergebnisses

Im letzten Schritt müssen wir nur noch testen, ob der Wert, den wir für $x$ herausbekommen haben, auch erlaubt ist. Verboten ist für $x$ der Wert $0$. Das Ergebnis $x=1$ ist also erlaubt.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Schritte zum Lösen einer Bruchgleichung

  • Definitionsmenge bestimmen
  • Bruch eliminieren
  • Lineare Gleichung lösen
  • Überprüfung des Ergebnisses

Du kannst dein neu erlerntes Wissen nun noch mit unseren Übungsaufgaben testen. Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Schulungs zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zw 14-21 Uhr.

Jetzt fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort

TESTE KOSTENLOS UNSER
SELBST-LERN-PORTAL:

  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
6601
best-cooler.reviews/best-insulated-cooler-high-end-rotomolded/

www.best-cooler.reviews/best-cheap-cooler-affordable-ice-chest/

https://progressive.ua