Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Terme und Gleichungen Gleichungen lösen Gleichungen aufstellen und lösen

Gleichungen aufstellen und lösen

In diesem Text erfährst du, wie Gleichungen aufgestellt und gelöst werden. Dazu schauen wir uns einige Beispielaufgaben an.

Gleichungen sind euch wahrscheinlich schon oft im Unterricht begegnet, denn das mathematische Zeichen, das eine Gleichung beschreibt, kennst du seit der Grundschule: das Gleichheitszeichen $\rightarrow~~ =$. Dieses Zeichen beschreibt die Gleichheit zweier Terme. Diese Terme können aus Additionen, Divisionen, Multiplikationen und Subtraktionen oder auch nur aus Zahlen bestehen .

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen$4x+5=2x-10$

Wie wir sehen können, besteht die Gleichung aus zwei Termen:

$\textcolor{red}{4x+5} ~= \textcolor{blue}{2x-10}$
$\textcolor{red}{Term 1} =\textcolor{blue}{Term 2}$
$~~~~~~Gleichung$

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Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.

Deine Aufgabe ist es die Gleichung zu lösen, d.h. für die Variable $x$ eine Zahl zu finden, mit der beide Terme denselben Wert annehmen.

Gleichungen lösen

Um eine Gleichung zu lösen, nutzen wir die Äquivalenzumformung. Um mehr über das Lösen von Gleichungen zu erfahren, schaue dir folgende Seite an: Gleichungen lösen

Beispiel

Beispiel

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$x - 34 = 22~~~~~~~~~~|+34$
$\Leftrightarrow x = 56$

$x + 3 = 7~~~~~~~~~~~~~~|-3$
$\Leftrightarrow x = 4$

$\frac{x}{3} = 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\cdot3$
$\Leftrightarrow x = 15$

$5 \cdot x = 30~~~~~~~~~~~~~~|:5$
$\Leftrightarrow x = 6$

Natürlich sind die Gleichungen meist nicht so einfach wie in den obrigen Beispielen. Die Schwierigkeit liegt in der Kombination der Methoden.

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Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt:

  • du musst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
  • du musst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (außer null) multiplizieren oder dividieren.

Schauen wir uns ein etwas schwierigeres Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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$-x+5= (25+2x)\cdot 3$

$\Leftrightarrow -x+5 = 75 +6 x ~~~~~~~| +x$

$\Leftrightarrow  5= 75 +7x ~~~~~~~~~~~~~~~~| -75$

$\Leftrightarrow -70 = 7x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:7$

$\Leftrightarrow -10=x$

Fassen wir die Vorgehensweise für das Lösen von Gleichungen noch einmal zusammen:

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Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte:

  1. Fasse die einzelnen Terme soweit wie möglich zusammen.
  2. Bringe die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite.
  3. Löse die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen.

Gleichungen aufstellen

Du kannst einen gegebenen Text oder auch einen Sachverhalt in eine Gleichung umformen.

Schauen wir uns zunächst an, wie ein Text in eine Gleichung umgeformt wird. Dafür solltest du folgende Ausdrücke kennen:

Addition (+)
$Summand + Summand= Summe$
addiere, zusammenzählen ...

Subtraktion (-)
$Minuend - Subtrahend = Differenz$
subtrahieren, minus rechnen, abziehen, Unterschied oder Differenz (Größere - Kleinere) ...

Division (:)
$\frac{Divisor}{Dividend}=Quotient$
teilen, dividieren, halbieren ...

Multiplikation ($\cdot$)
$Faktor \cdot Faktor = Produkt$
mal rechnen, vervielfachen, multiplizieren, das Produkt berechnen ...

Beispiel

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Die Summe aus $14$ und $8$ ist das Gleiche wie das Doppelte von x.
$14+8 = {x}\cdot{2}$

Das Produkt aus der Differenz von $5$ und $2$ mit $10$ ist gleich $30$.
${5-2}\cdot{10}=30$

Diese Gleichungen können durch Äquivalenzumformung einfach ausgerechnet werden.

Haben wir Sachverhalte gegeben, wird der Text zunächst auf wichtige Informationen untersucht. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir die wichtigen Informationen, damit der Text übersichtlich bleibt. Aus den Informationen muss anschließend eine Gleichung aufgestellt werden. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Beispiel

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Alter

Marla ist doppelt so alt wie Tim. Marla und Tim sind zusammen $30$ Jahre als. Wie alt ist Marla?

$m$ ist das Alter von Marla und $t$ ist das Alter von Tim. Dabei gilt: $m=2t$

$t + m = t +2t= 30$
$\Leftrightarrow 3t = 30 ~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
$\Leftrightarrow t=10$

Tim ist $10$ Jahre alt und Marla ist $20$ Jahre alt.

Beispiel

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Kerzen

Sarah zündet zwei verschiedene Kerzen gleichzeitig an. Die eine Kerze ist $25 cm~$ lang und brennt mit jeder Minute $1 mm~$ ab. Die andere Kerze ist $30 cm~$ lang und brennt jede Minute $1,5 mm~$ jede Minute.
Nach welcher Zeit sind beide Kerzen gleich lang?

Der Term beschreibt die Höhe der kürzeren Kerze in $cm~$, wobei $x$ die Zeit in Minuten ist:
$25 cm - 1 mm \cdot x= 25 cm -0,1 cm \cdot x$ 

Der zweite Term beschreibt die Höhe der längeren Kerze in $cm~$, wobei $x$ wieder die Zeit in Minuten ist:
$30 cm - 1,5 mm =30 cm - 0,15 cm \cdot x$

Da wir berechnen möchten, wann beide Kerzen gleich lang sind, müssen wir die Terme gleichsetzen. $\rightarrow Höhe1= Höhe 2$

$ 25 cm -0,1 cm \cdot x  =  30 cm - 0,15 cm \cdot x~~~~~~|+0,15 \cdot x$

$\Leftrightarrow 25 cm +0,05 cm \cdot x = 30 cm ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-25cm$

$\Leftrightarrow 0,05 cm \cdot x = 5 cm~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~| 0,05cm$

$\Leftrightarrow x = \frac{5cm}{0,05cm}= 100$

Nach $100$ min sind die beiden Kerzen gleich lang.

Probe:
$Höhe 1 = 25 cm -0,1 cm \cdot 100 = 15cm$
$Höhe 2 = 30 cm - 0,15 cm \cdot 100 = 15cm$

Nun haben wir uns einige Beispiele zum Aufstellen und Lösen von Gleichungen angeschaut. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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