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Lineare Funktion bestimmen mithilfe eines Steigungsdreiecks

Wie kann man aus einem abgebildeten Graphen einer linearen Funktion die dazugehörige Funktionsgleichung bestimmen? Eine einfache Methode ist es, den y-Achsenabschnitt abzulesen und die Steigung mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zu bestimmen. In diesem Lerntext werden wir die Steigung einer Funktion unter Zuhilfenahme eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Gleichung einer linearen Funktion bestimmen

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Daher ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich. Um die Gleichung zu bestimmen zeichnet man ein Steigungsdreieck, um die Steigung $m$ zu bestimmen. Den y-Achsenabschnitt $n$ liest man dann im nächsten Schritt von der Abbildung ab. Nachdem man beide Variablen bestimmt hat, setzt man diese in die allgemeine Form ein und erhält die Funktionsgleichung.

Merke

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allgemeine Form

$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m : Steigung}$
$\textcolor{blue}{n : y-Achsenabschnitt}$

Steigungsdreieck einzeichnen und berechnen

Methode

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Vorgehensweise

1. Zwei beliebige Punkte auf dem Graphen aussuchen.
2. Punkte durch ein Dreieck verbinden. 
3. Den Höhen- und Längenunterschied ermitteln.
4. Die Steigung berechnen.
$\rightarrow Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_2 - y_1}}{\textcolor{blue}{x_2 - x_1}} $

Mit einem Steigungsdreieck können wir die Steigung jeder linearen Funktion ganz leicht bestimmen. Dafür müssen wir zwei Punkte auf der Geraden aussuchen.

1. Zwei beliebige Punkte aussuchen:

ablesen-2
Abbildung einer Funktion, bei der zwei Punkte ausgewählt wurden

Wir wählen zwei beliebige Punkte auf der Funktion aus. Am besten suchen wir Punkte mit ganzen Zahlen, damit keine Ablesefehler entstehen.

2. Die Punkte durch ein Dreieck verbinden:

Mit den zwei Punkten und dem Graphen wird ein Dreieck gebildet. Dabei entsteht ein Hilfspunkt (hier $C$), an dem ein rechter Winkel sein muss.

ablesen-3
Abbildung mit eingezeichnetem Steigungsdreieck

Nun haben wir unser Steigungsdreieck eingezeichnet und können den Höhen- und Längenunterschied ablesen.

3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:

Für den Längenunterschied muss die Differenz zwischen den beiden x-Werten errechnet werden. Um den Höhenunterschied zu ermitteln gehen wir genauso bei den y-Werten vor. Wir ziehen jeweils die Werte voneinander ab. Hier sind die Punkte $\textcolor{red}{A}$ und $\textcolor{blue}{B}$ gegeben. Wenn der Höhenunterschied mit $y_\textcolor{red}{A}-y_\textcolor{blue}{B}$ berechnet wird, dann muss der Längenunterschied mit $x_\textcolor{red}{A}-x_\textcolor{blue}{B}$ berechnet werden. $A$ und $B$ dürfen hier nicht vertauscht werden, da sonst ein Vorzeichenfehler entsteht.
Die Werte können wir einfach aus dem Koordinatensystem ablesen.

4. Steigung berechnen:

Um nun aus dem Höhen- und Längenunterschied die Steigung zu ermitteln, müssen wir diese teilen.

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$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_2 - y_1}}{\textcolor{blue}{x_2 - x_1}} $

Welche Steigung hat die oben abgebildete Funktion dann?

Vertiefung

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Lösung

Längenunterschied: Dafür lesen wir zuerst die beiden $x-Werte$ ab. Der größere liegt bei Punkt $B$ und beträgt $6$, der kleinere bei Punkt $A$ und hat den Wert $2$. Nun ziehen wir $2$ von $6$ ab und wissen, dass der Längenunterschied $4$ beträgt.

Den Längenunterschied haben wir schon berechnet, dabei haben wir den x-Wert von Punkt $B$ von Punkt $A$ abgezogen. Also ziehen wir den y-Wert von Punkt $B$ von Punkt $A$ ab, um den Höhenunterschied zu bestimmen. $7-1=6$

$Steigung = m = \frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac {7-1}{6-2} = \frac {6}{4} = \frac {3}{2} = 1,5$

Für das vollständige Bestimmen der Funktionsgleichung ist noch das Ablesen des y-Achsenabschnittes notwendig und das Eintragen beider Werte in die allgemeine Funktionsgleichung.

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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