Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Wachstums- und Abnahmeprozesse Lineares Wachstum und lineare Abnahme

Lineares Wachstum und lineare Abnahme

In diesem Text erklären wir dir, was lineares Wachstum bzw. lineare Abnahme ist und was du damit berechnen kannst. Du findest hier auch je ein Zahlenbeispiel zu den beiden Themen.

Definition

Es gibt verschiedene Arten von Wachstum und Zerfall. Das lineare Wachstum und die lineare Abnahme haben eine konstante Änderungsrate. Das bedeutet, dass in gleichen Abständen die gleiche Menge dazu kommt oder weggenommen wird. Daraus ergibt sich, dass der Funktionsgraph eine Gerade ist.

funktion_linearer_wachstum
Abbildung: lineares Wachstum

Die Funktionsgleichung ist allgemein:

Methode

Methode

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$N(t) = a\cdot t + N_0$

Dabei ist:

$N(t)$:Wert zum Zeitpunk $t$
$a$:Änderungsrate
$t$:Variable, meist Zeit
$N_0$:Anfangswert zum Zeitpunkt $t=0$

Lineares Wachstum

Ein Beispiel für lineares Wachstum ist das gleichmäßige Befüllen eines Gefäßes.

Die Änderungsrate muss beim linearen Wachstum positiv sein:

$ a>0$

Der Anfangswert wächst pro Zeiteinheit um den Wert der Änderungsrate. So kann zum Beispiel, wie bei der oben abgebildeten Funktion, der Anfangswert $3$ sein und mit jeder Zeiteinheit kommt $1,75$ dazu. Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung: $N(t) = 3 + 1,75 \cdot t$

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Am Anfang ist das Becken leer. Pro Minute laufen nun $20~l$ Wasser in das Becken. Das Schwimmbecken fasst insgesamt $54.000~l$.

Fragen:

1. Wie viel Wasser befindet sich nach einer Stunde in dem Becken?

2. Nach welcher Zeit ist das Becken vollständig mit Wasser gefüllt?

Antworten:

Als erstes müssen wir die Funktionsgleichung aufstellen:

$N(t) = 0 + 20  \cdot t $

Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten und $N(t)$ die Wassermenge in Litern.
Mit dieser Gleichung kann nun die Wassermenge zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden. Mit dieser Gleichung kann auch berechnet werden, wie lange es dauert, bis eine bestimmte Wassermenge in dem Becken ist.

1. $N(60) = 20  \cdot 60 = 1200$

Nach $60$ Minuten sind $1.200~ l$ Wasser in dem Schwimmbecken.

2. $N(t) $ muss $54.000~l$ betragen:

$54000 = 20  \cdot t $

$t =\frac{54000}{20} = 2700~min$

Nach $2.700$ Minuten (45 Stunden) ist das Becken vollständig mit Wasser gefüllt.

Lineare Abnahme

Bei der linearen Abnahme sinkt der Wert konstant. Als Beispiel könnte man das gleichmäßige Abfließen von Wasser aus einer Badewanne nennen.

Die Änderungsrate bei der linearen Abnahme muss negativ sein:

$\rightarrow -a$

Von dem Anfangswert wird dann pro Zeiteinheit ($t$-Wert) ein bestimmter Wert abgezogen.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Anka hat $50$ € zu Weihnachten geschenkt bekommen. Sie liebt Rosinenschnecken und kauft sich daher von dem Geld jede Woche eine. Eine Rosinenschnecke kostet $2$ €.

Fragen:

1. Nach wie vielen Monaten ist das Geld aufgebraucht? 

2. Wie viel Geld ist nach acht Wochen noch übrig?

Antworten:

Wir müssen als erstes die Gleichung für den Sachverhalt aufstellen. Der Anfangswert beträgt $50$ € und die Änderungsrate ist $-2$ € je Woche:

$N(t) = 50 -2 \cdot t$

Dabei ist $t$ die Zeit und wird in Wochen angegeben und $N(t)$ ist der Geldbetrag in Euro.

1. Wenn das Geld aufgebraucht ist, gilt: $N(t) = 0$
Wir ersetzen also $N(t)$ durch $0$ und formen die Gleichung dann nach $t$ um:

$0 = 50 - 2\cdot t$

$t = \frac{-50}{-2} = 25$

Nach $25$ Wochen, also nach ca. $6$ Monaten, ist das Geld aufgebraucht.

2. Um den Geldbetrag nach acht Wochen zu ermitteln, müssen wir für $t$ den Wert $8$ einsetzen:

$N(8) = 50 - 2\cdot 8 = 34 $

Nach acht Wochen sind noch $34$ € übrig.

In den Übungsaufgaben kannst du dich prüfen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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