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Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften

Wenn wir in der Mathematik auf die Logarithmusfunktion treffen ist eine Exponentialfunktion auch nicht weit. Das liegt daran, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion für die Exponentialfunktion ist, somit das Errechnen des x-Wertes einfacher fällt, da dieser nicht mehr im Exponenten steht. 

In diesem Abschnitt lernst du alle Eigenschaften der Logarithmusfunktion kennen und ein Beispiel wird dir das Rechnen mit diesen Funktionen noch einfacher machen. 

Schreibweise und Funktionsgraph

Geschrieben wird der Logarithmus folgendermaßen:

$ x = log_{a}{y} $

Man liest es wie folgt: Der Logarithmus von y zur Basis a. Hierbei ist die Basis, wenn sie nicht geschrieben wird, der Wert 2. Die Umkehrfunktion für den Logarithmus ist:

$y = a^x$

 Auf der verlinkten Seite kannst du dir die Definition und Beispiele zum Logarithmus nochmal anschauen. 

Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktionen $\textcolor{green}{log_{2}{x}}$, $\textcolor{blue}{ln_{e}{x}}$, $\textcolor{red}{log_{10}{x}}$

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen

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Wie du auf dem Bild erkennen kannst, haben die verschiedenen Logarithmusfunktionen mehrere Gemeinsamkeiten.

So treffen sie sich alle im Punkt P(1|0), es sei denn sie wurden verschoben. 

Weiterhin verlaufen alle Logarithmusfunktionen durch die Sektoren 1 und 4, also die rechten beiden Sektoren. Das zeigt uns, dass die Logarithmusfunktion keine negativen x-Werte annehmen kann, genauso wie die Wurzelfunktion.

Wir können auch sehen, dass die Funktionen eine Asymptote , die y-Achse, haben; diese also niemals schneidet, sich ihr aber sehr stark annähert.

Der Definitionsbereich für Logarithmusfunktionen ist D=ℝ+, x kann also keine negativen Werte annehmen.

Wie rechnet man mit Logarithmusfunktionen? Beispiele zur Veranschaulichung des Vorgehens

Wie rechnet man also mit Logarithmusfunktionen und wie können sie aussehen?
Nehmen wir uns erst einmal ein einfaches Beispiel heraus und finden die Lösung:

Beispiel

Beispiel

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Beispiel 1: 

$\large{log_{3}{x}=4}$.

Diese Funktion sieht komplizierter aus, als sie eigentlich ist. Schreiben wir sie ohne Logarithmus, ergibt sich folgendes:

$3^4 = x$

Die Lösung ist dann: $\textcolor{green}{L=\{81\}}$.

Manchmal ist es jedoch nicht möglich, die Funktion so schnell umzuformen oder auszurechnen, sodass sie so einfach aussieht. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Beispiel 2:

$\large{log_{11}{x^2 +40}=2}$.

Wie rechnen wir hier?

  1. Schritt: Aufstellen einer Bedingung:

    Zuerst stellen wir eine Bedingung auf. Da es keinen Logarithmus aus 0 geben kann, weil kein Logarithmus die y-Achse jemals trifft, muss die Voraussetzung im Beispiel $\large{x^2 + 40 > 0}$ sein. Dies ist auch der Fall, denn die Zahl 40 kann niemals negativ sein, und für $x^2$ ist es auch nicht möglich negativ zu werden. Also ist das Weiterrechnen möglich und die Lösung für x kann jede Zahl sein. Somit ist der Definitionsbereich jede reelle Zahl: $\large{D=ℝ}$

  2. Herausrechnen des Logarithmus:

    Um weiter zu kommen, wenden wir einen kleinen Trick an. Wir wissen, dass der Logarithmus das Gegenstück zur Exponentialfunktion ist. Dies kommt uns gelegen, um diesen "weg zu bekommen":
    $\large{log_{11}{x^2 +40}=2}$.
    $\large{\textcolor{green}{11}^{log_{11}{x^2 +40}}=\textcolor{green}{11}^2}$.

    Was haben wir gemacht? Wir haben die $\textcolor{green}{Basis \; 11}$ erstellt. Das haben wir gemacht, damit gleich der Logarithmus aus der Rechnung verschwindet. Das geht nur, weil der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Du kannst dir das vorstellen, wie bei Wurzeln und Quadraten. Wenn wir die Funktion $\sqrt{2}{x^2}$ haben, dann können wir die Wurzel und das Quadrat gegenseitig kürzen.

    Das würde für uns heißen, dass die Funktion wie folgt aussieht:
    $\large{x^2 +40=11^2}$.

  3. Weitere Rechenschritte bis zur Lösung

    Jetzt fällt das Rechnen schon viel leichter. Wir rechnen $\textcolor{red}{11^2}$ aus und subtrahieren $\textcolor{green}{40}$ um $\large{x^2}$ auf einer Seite stehen zu haben:
    $\large{x^2 = \textcolor{red}{121} \textcolor{green}{-40}=81}$.

    Jetzt noch die Wurzel ziehen, damit wir die Lösung bekommen:
    $\large{x=+\sqrt{81}}$ und $\large{x=-\sqrt{81}}$.
    Ausgerechnet ergibt das: $\large{x=9}$ und $\large{x=-9}$, aufgeschrieben ergibt das dann:
    $\textcolor{green}{L = \{-9,9\}}$

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die Anwendung der Logarithmusfunktion bekommen. Teste dein Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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