Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Dreiecks- und Viereckskonstruktionen Peripheriewinkelsatz und Umfangswinkelsatz - Erklärung und Beweis

Peripheriewinkelsatz und Umfangswinkelsatz - Erklärung und Beweis

 Der Umfangswinkelsatz, oder auch Peripheriewinkelsatz genannt, ist ein Satz in der Geometrie. Es handelt sich um ein Dreieck in einem Kreis, welches durch eine feste Sehne, hier die Strecke $\overline{AB}$ und einen beweglichen Punkt $C$ definiert ist. Dabei besagt der Umfangswinkelsatz, dass der Winkel am Punkt $C$ immer gleich groß ist.

umfangwinkelsatz_1
Abbildung: Umfangswinkelsatz

Wir sehen an der oberen Abbildung die Strecke $\overline{AB}$, die eine feste Sehne im Kreis ist. Der Punkt $C$ wurde nun auf der Kreislinie bewegt. Der Winkel an dem Punkt (hier $\gamma$) verändert sich nicht, seine Größe ist immer gleich.

Was sagt der Umfangwinkelsatz aus?

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Der Umfangswinkelsatz besagt, dass der Umfangswinkel zur selben Kreissehne gleich groß ist.

Dieser Tatbestand kann bewiesen werden. Schauen wir uns den Beweis einmal an:

Beweis des Umfangwinkelsatz

Um den Umfangswinkelsatz zu beweisen, müssen wir zunächst beweisen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies:

umfangswinkelsatz_2
Abbildung: Der Mittelwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel

Wir sehen, dass der Mittepunktswinkel $\beta = 68,22^\circ$ doppelt so groß ist, wie der Umfangswinkel $\alpha = 34,11^\circ$. Dies gilt es zu beweisen! Denn wenn wir dies bewiesen haben, haben wir auch den Umfangswinkelsatz bewiesen. Der Winkel am Mittelpunkt verändert sich beim Bewegen vom Punkt $C$ nicht. Dennoch bleibt der Winkel im Punkt C  halb so groß wie der Winkel am Mittelpunkt.

Wir ziehen vom Mittelpunkt zum Punkt $C$ eine Gerade und erhalten drei Dreiecke mit mehreren Winkeln:

umfangswinkelsatz_beweis2
Abbildung: Skizze zum Beweis des Umfangswinkelsatzes

Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme jedes beliebigen Dreiecks $180^\circ$ groß ist. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\beta = 2\alpha$.

Starten wir mit der Bestimmung von $\delta $ und $\zeta$:

$180^\circ= \epsilon + 2\cdot \delta$

$\epsilon = 180^\circ -2 \delta$

$\zeta = 180^\circ -2 \gamma$

Wir wissen, dass in einem Kreis die Winkelsumme insgesamt aus $360^\circ$ beträgt. Dies wenden wir an:

$360^\circ = \epsilon + \zeta + \beta$

$\beta= 360^\circ -\epsilon - \zeta$

Setzen wir nun die zuvor bestimmten Terme für $\delta $ und $\zeta$ ein:

$\beta= 360^\circ - (180^\circ -2 \delta) - (180^\circ -2 \gamma)$

$\beta= 360^\circ - 180^\circ + 2\delta -180^\circ + 2 \gamma)$

$\beta = 2\delta + 2\gamma$

$\beta = 2 (\delta + \gamma)$

$\beta = 2 \alpha$

Damit ist bewiesen, dass der Umfangswinkel immer halb so groß ist wie der Mittelwinkel. Daraus können wir schließen, dass der Umfangswinkel immer gleich groß ist, da sich der Mittelpunktswinkel beim Bewegen von Punkt $C$ nicht verändert.

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