Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Zahlenlehre und Rechengesetze Potenzen und Potenzgesetze Potenzen mit negativem Exponenten

Potenzen mit negativem Exponenten

Was bedeutet ein negativer Exponent? Um sich diesem Problem zu nähern, betrachten wir noch einmal die Divisionsregel von Potenzen mit gleichen Basen. Warum greifen wir auf diese Regel zurück? Die Divisionsregel zeigt sehr gut, wie negative Exponenten überhaupt zustande kommen:

$\frac{a^5}{a^6} = a^{5-6} = a^{-1}$

Um zu verstehen, was genau die $-1$ als Exponent bedeutet, schauen wir uns noch einmal die ausführliche Rechnung an. Um den Ausdruck zu vereinfachen, kürzen wir, wie bereits gelernt, Zähler und Nenner gegeneinander weg:

$\frac{a^5}{a^6} = \frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} =\frac{1}{a^1} $

Daraus folgt:

$ a^{-1}=\frac{1}{a^1}$

Merke

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Potenzen mit negativen Exponenten können auch als Bruch geschrieben werden: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Beispiele für Potenzen mit negativem Exponenten

Beispiel

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(1) $ 3^{-5} = \frac{1}{3^5}$ 

(2) $ 7^{-9} = \frac{1}{7^9}$

(3) $ 10^{-4} = \frac{1}{10^4}$

(4) $ x^{-5} = \frac{1}{x^5}$

Was passiert, wenn der Exponent null ist?

Wir wissen nun, was positive und negative Exponenten bedeuten. Doch was passiert, wenn der Exponent null ist?

$ a^0$

Auch hier kann uns die Divisionsregel helfen - dieses Mal gehen wir umgekehrt vor: Was bedeutet es, wenn bei der Division zweier Potenzen mit der gleichen Basis als Ergebnis $a^0$ rauskommt?

$ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$

Methode

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Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

Und schon wieder brauchen wir dein Vorwissen: Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer eins.

$ \frac{2}{2} = 1$  ;  $\frac{2^5}{2^5} = 1$

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Potenzen mit dem Exponenten 0 ergeben als Ergebnis (Potenzwert) immer eins. Also: $ a^0 = 1$

Dieses Wissen können wir auch anwenden, um die Definition eines negativen Exponenten nochmals zu veranschaulichen:

$  \frac{1}{2^2} = \frac{2^0}{2^2} = 2^{0-2} = 2^{-2}$

Nun hast du die Sonderfälle von Potenzen mit negativen Exponenten und dem Exponenten Null kennengelernt. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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