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Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

Hier behandeln wir das Thema Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

In der Mathematik triffst du schon früh auf Funktionen. Diese haben zu Anfang keinen Exponenten. Das ändert sich aber recht schnell und die Funktion wird auf einmal nicht mehr nur durch x, sondern durch $x^2$ oder $x^3$ beschrieben.

Exponent - Was ist das?

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Beim Potenzieren wird der Wert x mehrfach mit sich selbst multipliziert (malgenommen). Das heißt, wir rechnen $ x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x $. Um nicht jedes Mal $ x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x $ schreiben zu müssen, schreiben wir $x^n$, wobei n die Anzahl der Wiederholungen angibt, also wie oft das x vorkommt. n wird Exponent genannt. Hier findest du die ausführliche Erklärung und Beispiele zum Thema Potenzen.

Abhängig vom Exponenten hat die Potenzfunktion bestimmte Eigenschaften. Diesbezüglich unterscheidet man insbesondere Potenzfunktionen mit geraden und Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. Hierzu nun ein Beispiel:

Beispiel

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Die Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Funktion mit natürlichem Exponenten. Auch die Funktionen $f(x)=x^3$ und $f(x)=x^4$ und $f(x)=x^5$ sind Funktionen mit natürlichen Exponenten. In der Grafik siehst du die Graphen der vier Funktionen.

potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Beispiele

Wie wir aus der Abbildung erkennen können, gibt es bei Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten keinen Bereich, der nicht definiert ist. Die Funktion hat also keinen Punkt, an dem sie unterbrochen ist und könnte theoretisch einfach so durchgezeichnet werden. Auch ähneln sich die Graphen der Funktionen $ f(x)=x^2$ und $ f(x)=x^4$, sowie die Graphen der Funktionen $f(x)=x^3$ und $ f(x)=x^5$. Darauf werden wir im Folgenden eingehen.

Gerader, natürlicher Exponent

Die am häufigsten vorkommende Funktion im Bereich der Potenzfunktionen ist die Funktion $f(x)= x^2$, die Normalparabel genannt wird. Diese ist, wenn wir keine weiteren Änderungen vornehmen, nach oben geöffnet und nimmt keine negativen y-Werte an. Sie bildet graphisch eine Parabel, also eine Funktion, die einen Scheitelpunkt besitzt und achsensymmetrisch ist. Die einzige Nullstelle liegt im Koordinatenursprung, also im Punkt N(0/0). Doch auch die Funktionen $f(x)=x^4$ und $f(x)=x^6$ sind Potenzfunktionen mit geradzahligen natürlichen Exponenten. Diese Funktionen haben alle die gleichen Eigenschaften.

Alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Auch verlaufen alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten durch die folgenden drei Punkte: P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1) 

Ein Spezialfall der geraden positiven Exponenten ist der Exponent 0, also die Funktion $f(x)=x^0$. Diese Funktion beschreibt eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und durch den Punkt P(1/1) geht.

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Funktionen wie $f(x)=x^2$ oder $f(x)=x^4$

...sind achsensymmetrisch zur y-Achse (Parabel),

...sind nach oben geöffnet,

...haben nur eine Nullstelle bei N(0|0),

...haben die Punkte P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.

Ungerader, natürlicher Exponent

Bei den Funktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten begegnet dir vor allem die Funktion $f(x)=x^3$. Diese sieht im positiven Bereich der Funktion $f(x)=x^2$ ähnlich. Sie verläuft ebenfalls durch die Punkte P2(0|0) und P3(1|1).

Potenzfunktionen mit ungeradem positivem Exponenten
Potenzfunktionen mit einem ungeraden positivem Exponenten

Ein Punkt, durch den nur Potenzfunktionen mit ungeradem, natürlichen Exponenten verlaufen, ist der Punkt P1(-1|-1). Wenn wir uns den negativen Bereich der x-Werte anschauen, dann stellen wir fest, dass die Funktion auch im negativen Bereich verläuft. Sie sieht in diesem Bereich ungefähr wie die Spiegelung von $f(x)=x^2$ aus. Diese Funktionsart nennt man Hyperbel. Sie verläuft bildlich gesprochen von unten links nach oben rechts. Ein Sonderfall ist hierbei die Funktion $f(x)=x^1$. Diese Funktion teilt die Eigenschaften der anderen Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten, jedoch ist der Graph dieser Funktion eine Gerade und keine Hyperbel.

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Funktionen wie $f(x)=x^3$ oder $f(x)=x^5$

...sind punktsymmetrisch zum Ursprung (Hyperbel),

...besitzen nur eine Nullstelle bei P1(0|0),

...haben die Punkte P1(-1|-1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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