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Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt

In diesem Text erklären wir dir, was die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist und wie du sie berechnen kannst.

Definition

Hier erfährst du, was eine Umkehrfunktion ist und wie du eine Umkehrfunktion berechnen kannst.

Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Funktion umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der $x$-Wert mit dem $y$-Wert getauscht wird. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert $(y)$ nur einen $x$-Wert gibt. Grafisch kannst du die Umkehrfunktion bilden, indem du die Funktion an der Winkelhalbierenden, also an der Funktion $f(x) =x$, spiegelst.

Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist also das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion zunächst nach $x$ umgestellt werden. Danach werden $x$ und $y$ getauscht, dabei vertauscht sich auch die Definitions- und die Wertemenge.

Methode

Methode

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Vorgehensweise: Umkehrfunktion bilden

  1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
  2. $x$ und $y$ tauschen.

Schauen wir uns zwei Beispiele an:

Beispiel

Beispiel

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$y = 3x^2+5$

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$y = 3x^2+5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-5$
$y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
$\frac{y-5}{3}=x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt{~~}$
$\sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$\sqrt{\frac{x-5}{3}}=y$    bzw.    $y= \sqrt{\frac{x-5}{3}}$  

$f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $

Beispiel

Beispiel

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$f(x)= 5x^3$

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$y =5x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:5$

$\frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$

$\sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$f^{-1}(x) =  \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$

Potenzfunktion

Bei einer Potenzfunktion hat die Variable, also der $x$-Wert, einen Exponenten.

Gut zu wissen

Hinweis

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$f(x) = x ^\textcolor {red}{n}$

Allgemein verlaufen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten immer durch den Ursprung. In diesem Text schauen wir uns aber nur die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen an.  

potenzfunktionen-beispiele
Abbildung: Graphen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Wie sehen die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten aus?

Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen

Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $f(x) = x^3$ soll gebildet werden. Wir gehen so vor, wie oben beschrieben:

Beispiel

Beispiel

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1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

$y = x^3 ~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
$\sqrt[3]{y}= x$

2. $x$ und $y$ tauschen:

$y= \sqrt[3]{x}$   bzw.   $f^{-1}(x) =y= \sqrt[3]{x}$

umkehrfunktionx3
Abbildung: Funktion $f(x) = x^3 $ und die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$

Bei allen anderen Potenzfunktionen, die einen ungeraden Exponenten haben, kann man genauso vorgehen. Bei Potenzfunktionen, die einen geraden Exponenten haben, muss man anders verfahren, denn jedem $y$-Wert werden zwei $x$-Werte zugeordnet. So ist beispielsweise bei der Funktion $y=x^2$ für den $y$-Wert $y= 4$ sowohl $x=2$ als auch $x=-2$ richtig. Daher muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Schauen wir uns dazu die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ an:

Beispiel

Beispiel

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Es muss zunächst die Definitionsmenge festgelegt werden. Wir wollen die Umkehrfunktion für alle positiven $x$-Werte bilden, $x\ge 0$.

1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

$f(x)= x^2 ~~~~~~~|\sqrt[2]{~~}$
$\sqrt[2]{y}= x$

2. $x$ und $y$ tauschen:

$f^{-1}(x)=  \sqrt[2]{x}$,          für alle $x\ge 0$.

umkehrfunktionx2
Abbildung: Funktion $f(x) = x^2 $ mit Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[2]{x}$

Mit den Aufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

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