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Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen

Im folgenden Lerntext bearbeiten wir eine realitätsnahe Textaufgabe zum Thema quadratische Funktionen. Hierbei zeigen wir Schritt für Schritt, wie du eine solche Textaufgabe meistern kannst.

Beispielaufgabe quadratische Funktionen

Der Bogen einer Hängebrücke von der Form einer Parabel verläuft gemäß dem Graphen der Funktion $f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4$.
Die Verankerungspunkte der Brücke liegen unterhalb der durch die x-Achse markierten Straße. Im Koordinatensystem stellt eine Einheit dabei einen Meter in der Realität dar.

textaufgabe-1

a) Wie hoch ist die Brücke (von der Straße aus gemessen)?

b) Wie lang ist die Straße auf der Brücke (Abstand $\overline{AB}$)?

c) Wie tief unterhalb der Straße befindet sich der Verankerungspunkt ($C$) der Brücke?

Im nächsten Teilkapitel erklären wir die Lösungen und gehen die einzelnen Lösungswege durch. Versuche zuerst alleine die Lösung herauszufinden und schaue dann erst auf die Lösungen.

Lösungen

a) Wie hoch ist die Brücke (von der Straße aus gemessen)?

Die Höhe der Brücke ist gesucht. Der höchste Punkt der Hängebrücke ist der Scheitelpunkt der Funktion. $\rightarrow S$ ist gesucht.
Wir haben die Gleichung der Funktion gegeben: $f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4$
Um den Scheitelpunkt bestimmen zu können, müssen wir die Normalform in die Scheitelpunktform umformen.

$f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4$

1. -0,004 ausklammern:
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x)-32,4$

2. Quadratische Ergänzung bilden:
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x+(\frac{300}{2})^2-(\frac{300}{2})^2)-32,4$
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x+22500-22500)-32,4$

3. Negativen Wert ohne x ausklammern und mit der vorderen Zahl (hier -0,0004) mal rechnen:
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x+22500)-0,004\cdot(-22500)-32,4$
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x+22500)+90-32,4$

4. Werte verrechnen:
$f(x) = -0,004\cdot(x^2-300x+22500)+57,6$

5. Binomische Formel zurückrechnen:
$f(x) = -0,004\cdot(x-150)^2+57,6$

Scheitelpunktform: $f(x) = -0,004\cdot(x-150)^2+57,6$

Nun muss nur noch der Scheitelpunkt abgelesen werden.
$f(x) = a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$

Der Scheitelpunkt der Funktion liegt also bei: $S(150/57,6)$. Hier liegt auch der höchste Punt der Brücke. Sie ist $57,6 m$ hoch.

Bei Schwierigkeiten beim Umformen von der Normalform in die Scheitelpunktsform, schaue im Lerntext Normalform noch einmal nach.

b) Wie lang ist die Straße auf der Brücke (Abstand $\overline{AB}$)?

Die Länge der Straße bzw. der Abstand zwischen Punkt $A$ und $B$ ist gesucht.
Dafür müssen wir die Werte der Punkte $A$ und $B$ ermitteln. Wenn wir uns die Abbildung genauer anschauen, erkennen wir, dass $A$ und $B$ die Nullstellen der Funktion sind.
$\rightarrow$ Wir müssen die Nullstellen ermitteln und dann den Abstand zwischen den beiden Nullstellen berechnen.

$f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4=0$
Nun können wir mit der p-q-Formel oder mit der Mitternachtsformel die Nullstellen bestimmen. Wir werden schrittweise die pq-Formel verwenden:

$f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4=0$         $|:(-0,004)$

$f(x) = x^2-300x+8100=0$
$p=-300$
$q=8100$

$x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-{q}}$

$x_{1/2} = -\frac{-300}{2}\pm \sqrt{(\frac{-300}{2})^2-{8100}}$

$x_{1/2} = 150\pm \sqrt{22500-8100}$

$x_{1/2} = 150\pm \sqrt{22500-8100}$

$x_{1/2} = 150\pm \sqrt{14400}$

$x_{1/2} = 150\pm120$

$x_1 = 150+120=270$

$x_2 = 150-120=30$

Nun haben wir die zwei Nullstellen gefunden. Der Abstand zwischen dem Punkt $A (30/0)$ und Punkt $B (270/0)$ beträgt $240m$.  ($270m-30m=240m$)
Damit ist die Straße auf der Brücke $240m$ lang.

c) Wie tief unterhalb der Straße befindet sich der Verankerungspunkt ($C$) der Brücke?

Die Tiefe des Verankerungspunkt $C$ soll herausgefunden werden. Dafür müssen wir den y-Wert des Punktes $C$ ermitteln. Wir sehen, dass der Punkt $C$ auf der y-Achse liegt, bzw. die Funktion die y-Achse im Punkt $C$ schneidet. Wir müssen also den y-Achsenabschnitt herausfinden. Da wir die Normalform gegeben haben, können wir den Wert einfach ablesen. Es ist der Wert der nicht mit $x$ oder $x^2$ mal genommen wird.

$f(x) = -0,004x^2+1,2x\textcolor{red}{-32,4}$

Die Funktion schneidet die y-Achse, wenn der x Wert gleich null ist.

$f(x) = -0,004x^2+1,2x-32,4$
$f(0) = -0,004\cdot0^2+1,2\cdot0-32,4$
$f(0) = -32,4$

Der Verankerungspunkt befindet sich $32,4m$ unterhalb der Straße.

Du hast jetzt eine Beispielaufgabe zu den quadratischen Funktionen durchgerechnet. Verbessere dein Können auch mit unseren Übungen!

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