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Teilbarkeitsregeln: Quersummenregel

In diesem Text beschäftigen wir uns mit der sogenannten Quersummenregel. Die Quersummenregel ist eine Teilbarkeitsregel in der Mathematik. Mit ihr lässt sich schnell erkennen, ob eine Zahl durch $3, 6, 9$ oder $15$ teilbar ist. Hierzu erklären wir dir in diesem Kapitel den Begriff Quersumme und wie man diese ausrechnet.

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Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aus den einzelnen Ziffern der Zahl.

Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist.

Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist und die Zahl gerade ist.

Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn die Quersumme durch $9$ teilbar ist.

Eine Zahl ist durch $15$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist und die Zahl auf $5$ oder $0$ endet.

Quersumme

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe der einzelnen Ziffern der Zahl. Hierbei spielt es keine Rolle, wie viele Ziffern eine Zahl hat, die Quersumme kann immer gebildet werden. Die Quersumme ist ein wichtiger Bestandteil der Quersummenregel, daher schauen wir uns nun ein paar Beispiele zur Quersumme an:

Beispiel

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Bilde die Quersumme der folgenden drei Zahlen: $159$, $48654$ und $2$

Die Quersumme ist die Summe der einzelnen Ziffern. Das heißt die Quersumme von $159$ ist:

$1 \;+\;5\;+\;9\;=\;15$

Die Quersumme von $159$ ist also $15$.

Analog verhält es sich bei den anderen beiden Zahlen:

$4\;+\;8\;+\;6\;+\;5\;+\;4\;=\;27$    und    $2\;=\;2$

Die Quersumme der Zahl $48654$ ist also $27$ und die Quersumme der Zahl $2$ ist $2$.

Die Quersumme von Zahlen mit nur einer Ziffer ist immer die Zahl selbst.

Quersummenregel - Zahl 3

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch $3$ teilbar ist, benötigst du im ersten Schritt die Quersumme der Zahl. Diese muss dann im nächsten Schritt durch $3$ geteilt werden. Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist, ohne dass ein Rest entsteht, dann ist die Zahl durch $3$ teilbar.

Beispiel

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Prüfe, ob die Zahl $7881$ durch $3$ teilbar ist.

Die Quersumme der Zahl ist $7+8+8+1=24$. Die Zahl $24$ ist durch $3$ teilbar. Also ist auch die Zahl $7881$ durch $3$ teilbar.

Quersummenregel - Zahl 6

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch $6$ teilbar ist, benötigst du zunächst die Quersumme der Zahl. Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist und die Zahl zudem gerade ist, dann ist die Zahl durch $6$ teilbar.

Beispiel

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Prüfe, ob die Zahl $852$ durch $6$ teilbar ist.

Die Quersumme der Zahl $852$ ist $8+5+2=15$. Die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar. Zudem ist die Zahl gerade. Also sind beide Bedingungen erfüllt und die Zahl $852$ ist durch $6$ teilbar.

Quersummenregel - Zahl 9

Eine Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch $9$ teilbar ist. Wir zeigen dies an folgendem Beispiel:

Beispiel

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Ist die Zahl $126$ durch $9$ teilbar?

Die Antwort lautet ja, denn die Quersumme der Zahl ist $1\;+\;2\;+\;6\;=\;9$ und $9$ ist durch $9$ teilbar. Die Lösung der Division ist $14$.

Quersummenregel - Zahl 15

Eine Zahl ist durch $15$ teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch $3$ teilbar ist. Außerdem muss die Zahl durch $5$ teilbar sein, die letzte Ziffer der Zahl muss also eine $0$ oder eine $5$ sein.

Beispiel

Beispiel

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Die Zahl $255$ ist durch $15$ teilbar, denn:

Die Quersumme der Zahl ist $2\;+\;5\;+\;5\;=\;12$ und somit durch $3$ teilbar und die letzte Ziffer der Zahl ist eine $5$.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!

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