Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Zahlenlehre und Rechengesetze Logarithmen und Exponentialgleichungen Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel

Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem vierten Logarithmusgesetz. 

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4. Logarithmusgesetz:

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Beispiele für das vierte Logarithmusgesetz

Beispiel

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(1) $\log_{2}(\sqrt[3]{512}) =  \frac{1}{3}\cdot \log_{2}(512) = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$

(2) $\log_{4}(\sqrt[5]{1024}) =  \frac{1}{5}\cdot \log_{4}(1024) = \frac{1}{5} \cdot 5 = 1$

Herleitung des vierten Logarithmusgesetzes

Bevor wir uns mit Wurzeln im Logarithmus beschäftigen, sollten wir erst nocheinmal wiederholen, welche Beziehung zwischen einer Potenz und einer Wurzel besteht.

$ Potenz: a^n = x            Wurzel: \sqrt[n]{x} = a$

Das Radizieren (=Wurzel ziehen) ist in gewisser Weise das Gegenteil des Potenzierens. Du hast aber noch einen anderen Zusammenhang kennengelernt:

Methode

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Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

$ a^{\frac{m}{n}}  = \sqrt[n]{a^m}$

In den meisten Fällen ist der Term unter der Wurzel nicht potenziert, dass heißt $m = 1$. So ergibt sich für $\sqrt[3]{7}$ die Potenz $7^{\frac{1}{3}}$.

Diese Regel solltest du im Hinterkopf behalten, wenn wir uns dem folgenden Problem annehmen:

$\log_{a}(\sqrt[y]{x})$

Wir haben eben gelernt, wie wir eine Wurzel noch schreiben können: $\log_{a}(x^{\frac{1}{y}})$

Im letzten Schritt greifen wir auf das dritte Logarithmusgesetz zurück und ziehen die Potenz vor den Logarithmus:

$\log_{a}(x^{\frac{1}{y}}) = \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

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4. Logarithmusgesetz:

Eine Wurzel wird logarithmiert, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten mit dem Logarithmus multipliziert wird.

$\log_{a}(\sqrt[y]{x}) =  \frac{1}{y}\cdot \log_{a}(x)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Potenz

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