Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Geometrie Berechnungen an Winkeln Winkel berechnen - Formel und Aufgaben

Winkel berechnen - Formel und Aufgaben

In diesem Lerntext erklären wir dir, mit welchen Tricks du Winkel leicht berechnen kannst.

Innenwinkelsumme

Die Innenwinkelsumme beschreibt, wie groß alle Winkel innerhalb einer geometrischen Figur zusammengerechnet sind.
So beträgt zum Beispiel die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ und die eines Vierecks $360^\circ$. Diese Erkenntnis kann uns helfen, wenn wir fehlende Winkel ausrechnen wollen.

So benötigen wir zwei Winkelangaben in einem Dreieck und drei Winkelangaben in einem Viereck um jeweils den fehlenden Winkel zu berechnen.

Innenwinkelsumme Dreieck

innenwinkelsumme-dreieck
Innenwinkelsumme Dreieck

Wir können alle Winkel in diesem Dreieck zusammenrechnen und erhalten: $73^\circ+77^\circ+30^\circ = 180^\circ$

Innenwinkelsumme Viereck

innenwinkelsumme-viereck
Innenwinkelsumme Viereck

Wir können auch alle Winkel dieses Vierecks zusammenrechnen. $95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ = 360^\circ$. Wir sehen, dass alle Winkel zusammen $360^\circ$ ergeben. Dieses Ergebnis würden wir bei jedem beliebigen Viereck erhalten.

Beispielaufgabe berechnen eines Winkels mit Hilfe der Innenwinkelsumme

innenwinkelsummer-dreieck-aufgabe
Dreieck, Winkel $\alpha$ gefragt

Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel $\alpha$ berechnen. Wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ groß sein müssen. Wenn wir nun die beiden angegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen, erhalten wir die Größe des gesuchten Winkels $\alpha$.

$180^\circ = \alpha +\beta +\gamma$
$180^\circ =\alpha+ 73^\circ+80^\circ$                   $|-73^\circ -80^\circ$
$\alpha = 180^\circ -73^\circ -80^\circ = 27^\circ $

Der Winkel $\alpha$ ist $27^\circ$ groß.

Formeln zu Sinus, Kosinus und Tangens

Die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks.
Um die Winkelfunktionen anwenden zu können, müssen wir zunächst die Seiten eines Dreiecks benennen können. Die Seiten eines Dreiecks werden auch Kathete genannt und jede Seite hat eine spezielle Bezeichnung:

leicht erklärt text 1

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser $\beta$. Die Gegenkathete ist gegenüber von dem gegeben Winkel (hier $\beta$) und die Ankathete liegt direkt an dem Winkel dran (hier $\beta$).

Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an:

Merke

Merke

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$Sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$Kosinus (\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$Tangens (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Winkel mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen - Vorgehensweise

Methode

Methode

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  1. Benenne die Katheten.
  2. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir dies in einer kleinen Skizze.
  3. Mit Hilfe der Skizze musst du nun überlegen, mit welcher Winkelfunktion du arbeiten kannst.
  4. Als letztes musst du nur noch die Angaben ausrechnen.

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an:

Beispiel

Beispiel

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Winkel

Um die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also wird die Gegenkathete durch die Hypotenuse geteilt und das Ergebnis wird in die Umkehrfunktion von Sinus, also in $\sin^{−1}$, eingesetzt.

Beispiel

$\alpha=?$,  Hypotenuse$=6cm$,  Gegenkathete$=3cm$


$\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$\sin(\alpha)=\frac{3cm}{6cm}=0,5$

$\alpha=\sin^{−1}(0,5)=30^\circ$


Damit beträgt der Winkel $\alpha$ in dem Dreieck $30 ^\circ $.

Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangesfunktionen berechnen kannst. Dein neu erlerntes Wissen kannst du in unseren Übungsaufgaben überprüfen. Viel Erfolg dabei!

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