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Zehnerpotenzen, Einheiten und wissenschaftliche Schreibweise

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit einer ganz besonderen Art von Potenzen: den Zehnerpotenzen.

Was sind Zehnerpotenzen?

Den großen Vorteil von Potenzen habe ich dir schon zu Beginn des Kapitels verraten: sehr große Zahlen können sehr komprimiert dargestellt werden.

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Namen der Zehnerpotenzen in 1000er-Schritten

$10^3 = 1~Tausend$   

$10^6 = 1~Millionen                    10^9 = 1~Milliarde$

$10^{12} = 1~Billionen               10^{15} = 1~Billiarde$

$10^{18} = 1~Trillionen              10^{21} = 1~Trilliarde$

$10^{24} = 1~Quadrillionen        10^{27} = 1~Quadrilliarde$

Diese Zehnerpotenzen sind einfach zu lesen. Eine $10$ mit dem Exponent $3$ entspricht einer Eins mit drei Nullen. Eine Trilliarde entspricht also einer Eins mit 21 Nullen. Ein gutes Anwendungsbeispiel dafür sind Maßeinheiten. Jeder kennt Begriffe wie Kilo, Milli oder Giga.

Potenzen und Einheiten

Schauen wir uns die Meter-Einheitstabelle einmal an. Die Abstufungen erfolgen in 1.000er Schritten. Als Potenz geschrieben:

$ 10^3 = 1.000$

Längeneinheiten
Längeneinheiten

 

Zehnerpotenzen mit negativem Exponent lassen sich ähnlich leicht verstehen: $10^{-3}$ entspricht $0,001$. Auch hier taucht wieder drei Mal die Null auf, nun aber vor der Eins. Du musst beachten, dass die Null, die vor dem Komma steht, immer mitgezählt wird.

Wissenschaftliche Schreibweise großer und kleiner Zahlen

Man kann jede beliebige Zahl mit Hilfe von Zehnerpotenzen darstellen. Betrachten wir folgende Zahl:

$67.234,124$

gelesen: Siebenundsechzigtausend-zweihundertvierunddreißig-komma-eins-zwei-vier

Wir möchten diese Zahl nun auf eine Stelle vor dem Komma komprimieren. Insgesamt haben wir fünf Ziffern vor dem Komma. Wir müssen das Komma also um vier Stellen nach links verschieben. Danach multiplizieren wir die Zahl mit 10.000, damit sich an dem Wert der Zahl nichts ändert. Nun können wir die Zahl mit Hilfe einer Zehnerpotenz schreiben:

$6,7234124 \cdot 10.000 = 6,7234124 \cdot 10^4$

Wenn wir die Zahl runden, kommen wir auf eine viel übersichtlichere Schreibweise, die vor allem in der Naturwissenschaft sehr oft genutzt wird.

$6,72 \cdot 10^4$    (Kurzschreibweise für 67.200)

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Eine Zehnerpotenz mit einem positiven Exponenten verschiebt das Komma um die entsprechende Anzahl nach rechts. Der Exponent gibt an, um wie viele Stellen du das Komma nach rechts verschieben musst.

Dieselbe Methode können wir auch bei sehr kleinen Zahlen anwenden.

$0,0000537$

Um die Zahl übersichtlicher darzustellen, müssen wir das Komma um 5 Einheiten nach rechts verschieben. Mathematisch gesehen machen wir dies, indem wir die Zahl mit $10^5$ multiplizieren. Da wir den Wert der Zahl jedoch nicht ändern wollen, müssen wir diese Multiplikation wieder rückgängig machen. Dies machen wir, indem wir den Ausdruck nun noch mit $10^{-5}$ multiplizieren.

$0,0000537 \cdot 10^5 \cdot 10^{-5} = 5,37\cdot 10^{-5}$

Daraus folgt:

$0,0000537 = 5,37 \cdot 10^{-5}$

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Eine Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten verschiebt das Komma um die entsprechende Anzahl nach links. Der Exponent gibt an, um wie viele Stellen du das Komma nach links verschieben musst.

Nun hast du alles wichtige über Zehnerpotenzen und Einheiten gelernt. Mit den Übungsaufgaben kannst du nun dein erlerntes Wissen überprüfen. Viel Spaß und Erfolg dabei!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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