Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Zahlenlehre und Rechengesetze Prozent- und Zinsrechnung Zinseszins: Formel und Erklärung

Zinseszins: Formel und Erklärung

Der Zinseszins hängt, wie der Name bereits vermuten lässt, eng mit der Zinsrechnung zusammen. Die normale Zinsrechnung kümmert sich um anfallende Zinsen nach einem Jahr, nach einigen Monaten oder nach einigen Tagen. Wenn man nun aber sein Geld länger als ein Jahr auf dem Sparbuch lässt, werden nach einem Jahr die anfallenden Zinsen gutgeschrieben, das heißt, die Zinsen kommen zu dem Betrag auf dem Sparbuch hinzu. Der Betrag auf dem Sparbuch wächst also von Jahr zu Jahr und somit auch die Zinsen, da der Zinssatz gleich bleibt.

Beispiel

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Wird ein Kapital von $2.500~€$ für ein Jahr mit $5\%$ auf dem Sparbuch verzinst, erhält der Inhaber am Ende des Jahres Zinsen in Höhe von $125~€$. Sein Kapital wächst also auf $2.625~€$ an. Am Ende des zweiten Jahres erhält der Inhaber wieder $5\%$ auf sein Sparbuch, also Zinsen in Höhe von $131,25~€$. Der Inhaber des Sparbuches erhält am Ende des zweiten Jahres mehr Zinsen, da im zweiten Jahr mehr Geld auf dem Sparbuch lag.

Zinseszins berechnen

Ähnlich wie bei der normalen Zinsrechnung, gibt es auch für die Berechnung des Zinseszins eine allgemeine Formel:

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

Dabei steht

  • $K_{VERZINST}$ für das Endkapital nach der Verzinsung,
  • $K_{ANFANG}$ für das anfängliche Kapital (ohne Verzinsung),
  • $p$ steht für den Prozentsatz der Zinsen (ohne das $\%$-Zeichen) und
  • $n$ für die Anzahl der Jahre.

Merke

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Formel für den Zinseszins

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

Beispiel

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Ein Sparbuch mit einem Kapital von $3.000~€$ wird für fünf Jahre mit dem Zinssatz $3\%$ verzinst. Wie viel Kapital hat der Inhaber nach Ablauf der fünf Jahre auf dem Sparbuch?

$K_{VERZINST} = K_{ANFANG} \cdot (1~+~\frac{p}{100})^n$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot (1~+~\frac{3}{100})^5$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot (1,03)^5$

$K_{VERZINST} = 3.000~€ \cdot 1,1592...$

$K_{VERZINST} \approx 3.477,82~€$

Anfangskapital berechnen

Oft musst du auch das Anfangskapital berechnen. Die Formel des Zinseszins lässt sich nach dem Anfangskapital umstellen:

$\large{K_{ANFANG} = \frac{K_{VERZINST}}{(1+\frac{p}{100})^n}}$

Beispiel

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Wie viel Geld muss man anlegen um nach sieben Jahren ein Kapital von $10.000~€$ zu haben, wenn der Zinssatz bei $2,5\%$ liegt?

$\large{K_{ANFANG} = \frac{K_{VERZINST}}{(1+\frac{p}{100})^n}}$

$\large{K_{ANFANG} = \frac{10.000}{(1+\frac{2,5}{100})^7}}$

$\large{K_{ANFANG} \approx 8.412,65~€}$

Zinssatz und Dauer berechnen

Ebenso können wir die Formel des Zinseszins nach dem Zinssatz $p$ und der Dauer $n$ umstellen. Die beiden Ausdrücke sind deutlich komplizierter als die normale Zinseszinsformel.

Zinssatz berechnen

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[n]{\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}}}~-~1)}$

Beispiel

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Mit welchem Zinssatz erhält man auf einem Sparbuch über $1.200~€$ nach drei Jahren so viele Zinsen, dass man auf ein Kapital von $1.750~€$ kommt? 

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[n]{\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}}}~-~1)}$

$\large{p = 100 \cdot (\sqrt[3]{\frac{1.750}{1.200}}~-~1)}$

$\large{p \approx 13,402}$

Dauer berechnen

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}})}}{\lg_{}{(1+\frac{p}{100})}}}$

Beispiel

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Wie lange muss man ein Sparbuch in Höhe von $20.000~€$ anlegen, um bei einem Zinssatz von $p=0,8\%$ ein verzinstes Kapital von $21.500~€$ zu erhalten?

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{K_{VERZINST}}{K_{ANFANG}})}}{\lg_{}{(1+\frac{p}{100})}}}$

$\large{n = \frac{\lg_{}{(\frac{21.500}{20.000})}}{\lg_{}{(1+\frac{0,8}{100})}}}$

$\large{n \approx 9,07}$

Das Sparbuch muss etwas länger als $9$ Jahre angelegt werden.

Trainiere die Vorgehensweise mit Hilfe der Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

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