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Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des zweiten Logarithmusgesetzes.

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2. Logarithmusgesetz:

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Beispiele für das zweite Logarithmusgesetz

Beispiel

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(1) $\log_{4}(\frac{1}{16}) = \log_{4}(1) - \log_{4}(16) = 0 - 2 = -2$

(2) $\log_{6}(\frac{1}{216}) = \log_{6}(1) - \log_{6}(216) = 0 - 3 = -3$

(3) $\log_{2}(\frac{32}{1024}) = \log_{2}(32) - \log_{2}(1024) = 5 - 10 = -5$

Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes

Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $      

Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:

Methode

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Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).

$\log_{a}(x) = m      a^m = x$

$\log_{a}(y) = n      a^n = y$

Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich  $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$

Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$

Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:

$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$

Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:

$\frac{x}{y} =  a^{m-n}      \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$

Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n      \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

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2. Logarithmusgesetz:

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun an unseren Aufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

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